Теорія:

Дослідження функції на монотонність
Функцію \(y=f(x)\) називають зростаючою на множині XD(f)\(,\) якщо для будь-яких точок x1 та x2 множини \(X,\) таких, що x1<x2\(,\) виконується нерівність fx1<fx2\(.\)
 
Функцію \(y=f(x)\) називають спадною на множині XD(f)\(,\) якщо для будь-яких точок x1 та x2 множини \(X,\) таких, що x1<x2\(,\) виконується нерівність fx1>fx2\(.\)
Зверни увагу!
Функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Дослідження функції на обмеженість
Функцію \(y=f(x)\) називають обмеженою знизу на множині XD(f)\(,\) якщо всі значення цієї функції на множині \(X\) більші, ніж деяке число; інакше кажучи, якщо існує число \(m,\) таке, що для будь-якого значення xX виконується нерівність f(x)>m\(.\)
Функцію \(y=f(x)\) називають обмеженою зверху на множині XD(f)\(,\) якщо всі значення цієї функції на множині \(X\) менші, ніж деяке число; інакше кажучи, якщо існує число \(m,\) таке, що для будь-якого значення xX виконується нерівність f(x)<M.
Найменше та найбільше значення функції
Число \(m\) називають найменшим значенням функції \(y=f(x)\) на множині XD(f)\(,\) якщо:

\(1)\) існує точка x0X\(,\) така що fx0=m\(;\)
 
\(2)\) для будь-якого значення xX виконується нерівність f(x)fx0\(.\)
 
Число \(M\) називають найбільшим значенням функції \(y=f(x)\) на множині XD(f)\(,\) якщо:

\(1)\) існує точка x0X\(,\) така що fx0=M\(;\)
 
\(2)\) для будь-якого значення xX виконується нерівність f(x)fx0\(.\)
Позначення:
 
yнайм — найменше значення функції;
 
yнайб — найбільше значення функції.
\(1)\) якщо у функції існує yнайм\(,\) то вона обмежена знизу;
 
\(2)\) якщо у функції існує yнайб\(,\) то вона обмежена зверху;
 
\(3)\) якщо функція не обмежена знизу, то в неї не існує yнайм\(;\)
 
\(4)\) якщо функція не обмежена зверху, то в неї не існує yнайб\(.\)
Нулі функції
Нулем функції \(y=f(x)\) називається таке значення аргументу x0\(,\) за якого функція перетворюється на нуль.