Теорія:

Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, якщо приріст аргументу наближається до нуля (і ця границя існує), називається похідною цієї функції
y=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx
(іноді замість f(x+Δx)f(x) пишеться Δy.)
Отже, limΔx0ΔyΔx=f(x).
Іноді використовуються позначення f(x) або dydx.
Приклад:
1) (x+13)=limΔx0(x+Δx+13)(x+13)Δx=limΔx0ΔxΔx=limΔx01=1
 
 
2)1x=limΔx01x+Δx1xΔx=limΔx0xxx+Δxx+Δxxx+ΔxΔx==limΔx0Δxxx+ΔxΔx=limΔx01xx+Δx=1x2
 

Фізичний (механічний) зміст похідної полягає в наступному. Якщо \(s(t)\) - закон прямолінійного руху тіла, тоді похідна виражає миттєву швидкість в момент часу \(t\):

v=s(t).

Геометричний зміст похідної полягає в наступному. Якщо до графіка функції \(y=f(x)\) в точці з абсцисою \(x=a\) можна провести дотичну, яка не паралельна осі \(y\), тоді f(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:

k=f(a).

pieskare.bmp

Оскільки k=tgα, тоді правильна рівність f(a)=tgα.

Алгоритм знаходження похідної для функції \(y=f(x)\)
1. Зафіксувати значення \(x\), знайти \(f(x)\).
2. Дати аргументу \(x\) приріст Δx, перейти в нову точку x+Δx, знайти fx+Δx.
3. Знайти приріст функції: Δy=fx+Δxf(x).
4. Додати відношення ΔyΔx.
5. Обчислити limΔx0ΔyΔx. Ця границя і є f(x) .