Визначення похідної функції — урок. Алгебра, 10 клас.

Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, якщо приріст аргументу наближається до нуля (і ця границя існує), називається похідною цієї функції.

y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

(іноді замість

f (x + Δ x) - f (x)

пишеться

Δ y

Отже,

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x)

Іноді використовуються позначення

f' (x)

або

\frac{dy}{dx}

Приклад:

(x + 13)' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x + 13) - (x + 13)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1

\begin{array}{l} {(\frac{1}{x})}^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + Δ x)} - \frac{x + Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{- Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{x (x + Δ x)} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}

Фізичний (механічний) зміст похідної полягає в наступному. Якщо $s(t)$ - закон прямолінійного руху тіла, тоді похідна виражає миттєву швидкість в момент часу $t$:

$v = s^{'} (t)$ .

Геометричний зміст похідної полягає в наступному. Якщо до графіка функції $y=f(x)$ в точці з абсцисою $x=a$ можна провести дотичну, яка не паралельна осі $y$, тоді $f^{'} (a)$ виражає кутовий коефіцієнт дотичної:

$k = f^{'} (a)$ .