Припустимо, що з колоди з \(36\) карт витягується одна карта й розглядаються:
- подія \(A\) — витягнута карта трефової масті;
- подія \(B\) — витягнута дама треф.
Між подіями \(A\) і \(B\) очевидна наявність певної залежності. Дійсно, з \(9\) випадків, що сприяють події \(A,\) події \(B\) сприяє один. Тому при настанні події \(A\) ймовірність події \(B\) дорівнює \(.\)
Але за відсутності інформації про настання події \(A\) ймовірність події \(B\) оцінюється як така, що дорівнює \(.\) Оскільки \(,\) то очевидно, що настання події \(A\) підвищує шанси події \(B.\)
Часто про незалежність подій вдається зробити висновок на підставі того, як організований дослід, у якому вони відбуваються. Незалежні події виникають тоді, коли дослід складається з декількох незалежних випробувань (наприклад, як у розгляненому досліді з киданням двох гральних кубиків).
Якщо незалежність випробувань неочевидна, то незалежність подій \(A\) і \(B\) перевіряється за допомогою формули.
Події \(A\) і \(B\) називаються незалежними, якщо виконується рівність \(.\)
Розглянемо дослід із киданням двох гральних кубиків і дослідимо дві події: \(A\) — на першому кубику випало \(5\) очок, \(B\) — на другому кубику випало \(5\) очок. З'ясуємо, чи будуть події \(A\) і \(B\) незалежними.
Поява будь-якої кількості очок на першому кубику (зокрема, настання події \(A\)) не впливає на подію \(B\) і на її ймовірність. І навпаки, настання або ненастання події \(B\) не впливає на ймовірність події \(A.\)
Отже:
Подія \(AB\) полягає в спільному настанні подій \(A\) і \(B.\) Елементарні результати випробування — це пари чисел, у яких на першому місці стоїть кількість очок першого кубика, на другому — кількість очок другого кубика. Всього елементарних наслідків випробування \(.\) Серед них присутня лише одна пара (\(5\) і \(5\) очок), що сприяє події \(AB,\) тобто \(.\)
Отже:
\(,\) тобто події \(A\) і \(B\) — незалежні.