Використання інтеграла в обчисленні площі

Припустимо, що на площині \(xОy\) дано фігуру, яку обмежує пряма \(Ox,\) прямі \(x=a,\) \(x=b\) і графік невід'ємної функції \(f(x)\) на проміжку\([a,b].\)

Площу цієї фігури можна обчислити, використовуючи формулу

S = F (b) - F (a)

\(,\) де \(F(x)\) є первісною функції \(f(x),\) тобто

F' (x) = f (x)

\(.\)

Приклад:

1) Обчисли площу фігури, обмеженої графіком функції

f (x) = x^{2}

на проміжку \([1,2].\)

Розв'язання

Для функції

f (x) = x^{2}

однією з первісних є функція

F (x) = \frac{x^{3}}{3}

. Тоді шукана площа

S = F (2) - F (1) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{7}{3}

2) Обчисли площу фігури, обмеженої графіком функції

y = \ln x

на проміжку \([1,2].\)

Розв'язання

Спочатку знаходиться первісна даної функції (використовується метод інтегрування частинами).

\begin{array}{l} \int \ln x dx = [\begin{array}{l} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = 1 & v = x \end{array}] = \int u dv = uv - \int v du = \\ = \ln x \cdot x - \int (x \cdot \frac{1}{x}) dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C \end{array}

Отже:

первісна функції —

F (x) = x \ln x - x

\(;\)

значення площі —

S = F (2) - F (1) = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 1

\(.\)

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Використання інтеграла в обчисленні площі

Теорія: