2. Зміст та властивості визначеного інтеграла

Якщо функція \(f(x)\) визначена і неперервна на відрізку $\left[a;b\right]$ і \(F(x)\) — її довільна перевісна на цьому відрізку \(F’(x)=f(x)\), то 

Визначений інтеграл позначається так: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}$.

Числа \(a\) і \(b\) називають межами інтегрування (\(a\) — нижньою межею і \(b\) — верхньою). Відповідно за означенням:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}=F(b)-F(a)$.

Відповідно площу криволінійної трапеції, обмежену графіком неперервної і невід'ємної на відрізку $\left[a;b\right]$ функції \(y=f(x)\), можна обчислювати за формулою $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}$, що визначає геометричний зміст визначеного інтеграла.

Поняття визначеного інтеграла доцільно розширити.

Для випадку \(a>b\) приймемо за означенням, що $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathit{dx}$.

При \(a=b\) також за означенням, $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathit{dx}=0$.

Якщо функція \(f(x)\) неперервна на $\left[a;b\right]$ і $c\in \left[a;b\right]$, то $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathit{dx}+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}$.

 

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f(x)+g(x)\mathit{dx}\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathit{dx}$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}k\cdot f(x)\mathit{dx}=k\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}$

 

$\mathrm{\upsilon }=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}a(t)\mathit{dt},s=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mathrm{\upsilon }(t)\mathit{dt}$, де \(s\) — переміщення, \(v\) — швидкість та \(a\) — прискорення.