Обчислення похідної (логарифмування)

Щоб обчислити похідну добутку (частки) декількох функцій або степеня, в якому основа і показник степеня є функціями, знадобиться формула

y' = y (\ln y)'

\(.\)

Її отримують наступним чином (використовуючи формулу обчислення похідної складної функції):

y' = (e^{\ln y})' = e^{\ln y} \cdot (\ln y)' = y \cdot (\ln y)'

Приклад:

\(1.\)

\begin{array}{l} (x^{x})' = x^{x} (\ln x^{x})' = x^{x} (x \ln x)' = \\ = x^{x} (x' \ln x + x (\ln x)') = x^{x} (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^{x} (\ln x + 1) \end{array}

\(2.\)

\begin{array}{l} y = \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}} y' = ? \\ (\ln y)' = {(\ln \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}})}^{'} = {(4 \ln (x + 1) + \frac{\ln (2 x + 1)}{3} - \frac{\ln x}{2})}^{'} = \\ = \frac{4}{x + 1} + \frac{1}{3 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x} \\ y' = y (\ln y)' = \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}} (\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{3 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x}) \end{array}

Знайшли помилку?

3. Обчислення похідної (логарифмування)