Незалежні повторення випробувань із двома наслідками

Розглянемо випробування, в якому ймовірність настання випадкової події $A$ дорівнює $P$ $(A).$

Зверни увагу!

Нам відома формула $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ $,$ де $\bar{A}$ — подія, протилежна події $A.$

Отже, $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ $.$ Будемо розглядати вихідне випробування як випробування лише з двома можливими наслідками: один полягає в тому, що подія $A$ відбудеться, а інший — у тому, що подія $A$ не відбудеться, тобто відбудеться подія $\bar{A}$ $.$

Для стислості назвемо перший наслідок (настання події $A$) «успіхом», а другий наслідок (настання події $\bar{A}$ ) — «невдачею». Ймовірність «успіху» позначимо $P (A) = p$ $,$ а ймовірність «невдачі» — $q; q = P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - p$ $.$

Схема Бернуллі

Розглядають $n$ незалежних повторень одного й того самого випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює $p,$ а ймовірність «невдачі» дорівнює $q,$ $p+q=1.$ Потрібно знайти ймовірність $P_{n} (k)$ того, що в цих $n$ повтореннях відбудеться рівно $k$ «успіхів».

При $n$ незалежних повтореннях одного й того самого випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять як про $n$ випробування Бернуллі. Точну відповідь на поставлене запитання дасть наступна теорема.

Теорема Бернуллі

Ймовірність $P_{n} (k)$ настання $k$ «успіхів» у $n$ незалежних повтореннях одного й того самого випробування обчислюється за формулою $P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k},$ де $p$ — ймовірність «успіху», а $q=1-p$ — ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні.

Приклад:

Кожен із чотирьох приятелів вивчив рівно $5$ питань із $20$ заданих до заліку. На заліку вони відповідали в різних аудиторіях і отримували запитання незалежно один від одного.

Знайди ймовірність того, що:

$a)$ кожному дісталося те питання, яке він вивчив;

$b)$ нікому не дісталося питання, яке він вивчив;

$c)$ тільки одному з приятелів дісталося те питання, яке він не вивчив;

$d)$ хоча б одному з приятелів дісталося те питання, яке він вивчив.

Розв'язання

Якщо комусь дісталося питання, яке він вивчив, то це «успіх». Ймовірність «успіху» у кожного з приятелів, що готувалися до заліку, одна й та сама: вона дорівнює $\frac{5}{20} = 0,25$ $.$ Тому можна вважати, що ми маємо справу з $n=4$ випробуваннями Бернуллі з імовірністю «успіху» в окремому випробуванні $p=0,25.$

$a)$ у цьому випадку $k=n=4$ і тому $P_{4} (4) = C_{4}^{4} p^{4} q^{4 - 4} = {0,25}^{4} \approx 0,004$ $;$

$b)$ у цьому випадку $k=0$ і тому $P_{4} (0) = C_{4}^{0} p^{0} q^{4 - 0} = {0,75}^{4} \approx 0,316$ $;$

$c)$ тут $k=3$ і тому $P_{4} (3) = C_{4}^{3} p^{3} q^{4 - 3} = 4 \cdot {0,25}^{3} \cdot 0,75 \approx 0,047$ $;$

$d)$ подія, протилежна даній, полягає в тому, що нікому з друзів не дісталося питання, яке він вивчив, тобто, що сталося $k=0$ «успіхів». Ймовірність такої загальної невдачі вже порахована в пункті $b$$.$ Отже, потрібна нам ймовірність дорівнює:

$1 - P_{4} (0) = 1 - {0,75}^{4} \approx 0,684$

Теорема

Найбільш імовірне число «успіхів» у $n$ випробуваннях Бернуллі наближено дорівнює $np,$ де $p$ — ймовірність «успіху» в окремому випробуванні.

Сформулюємо наступне правило.

Для того щоб знайти найімовірніше число $k_{найімовір}$ «успіхів» у $n$ випробуваннях Бернуллі з імовірністю «успіху» рівною $p,$ потрібно:

$1)$ обчислити число $np;$

$2)$ від числа $np$ на координатній прямій відкласти $q$ вліво і $p$ вправо;

$3)$ ціле число, яке лежить на відрізку $[np - q; np + p]$ одиничної довжини, і буде дорівнювати $k_{найімовір}$ $;$ якщо таких цілих чисел два, то $k_{найімовір}$ може дорівнювати будь-якому з них.

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

2. Незалежні повторення випробувань із двома наслідками

Теорія: