Розміщення — урок. Алгебра, 11 клас.

Розміщенням із $n$ елементів по $m$ елементів (

m \leq n

) називається впорядкована вибірка елементів $m$ із даної множини елементів $n.$

Кількість розміщень із $n$ елементів по $m$ елементів позначається

A_{n}^{m}

(читається як «розміщення з $n$ елементів по $m$ елементів»).

	$\leftarrow$ $m$ показує кількість елементів розміщення (скільки елементів вибирається)
$↑$ $n$ показує кількість елементів даної множини

Розміщення обчислюються за формулою:

A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}

Приклад:

$1.$ Скільки двозначних чисел можна скласти з цифр $2; 3; 4; 5; 6$ (якщо цифри не повинні повторюватися)?

Розв'язання

Вибираються $2$ елементи з множини $5$ елементів.

У даному випадку $n = 5$ (тому дана множина з $5$ цифрами), а $m = 2$ (тому потрібно вибрати $2$ цифри для числа).

Обчислюємо

A_{5}^{2}

$.$

За формулою:

A_{5}^{2} = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20

Відповідь: із даних цифр можна скласти $20$ двозначних чисел із різними цифрами.

$2.$ Дано елементи $3$ різних кольорів:

. Скількома різними способами можна вибрати $2$ з них, якщо порядок є важливим?

Розв'язання

Це завдання можна розв'язати двома способами: повним перебором або підставивши величини у формулу.

$1)$

$2)$

$3)$

$4)$

$5)$

$6)$

Як видно на зображенні, два елементи зі всіх даних можна вибрати $6$ різними способами.

Підставивши величини у формулу $(n = 3$ і $m= 2),$ отримаємо такий самий результат:

A_{3}^{2} = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = \frac{6}{1} = 6

$3.$ Біля столу залишилося $6$ вільних місць. Скількома різними способами місця можуть зайняти $4$ людини?

Розв'язання

Основну множину складають $6$ вільних місць, отже, $n = 6,$ вибірку складають $4$ людини, отже, $m = 4.$ Оскільки важливий порядок, у якому люди займуть місця, кількість вибірок дорівнює кількості розміщень із $6$ елементів по $4$ елементи, тобто: