Ми часто маємо справу із залежностями між різними величинами. Наприклад, вартість покупки від ціни товару, площа фігури — від її вимірів, відстань, яку долає авто — від його швидкості.
Розглянемо таблицю вартості товару, ціна якого \(20\) грн за кг.
| Кількість товару, \(x\) кг | \(3\) | \(10\) | ... | \(x\) |
| Вартість покупки, \(y\) грн | \(60\) | \(200\) | ... | \(20x\) |
Використовуючи дані записані у таблицю, можна скласти формулу для знаходження \(y\) а відомим значенням \(x\), тобто формулу залежності вартості покупки від кількості придбаного товару.
"Кількість товару, \(x\) кг" та "Вартість покупки, \(y\) грн" — це величини, які змінюються, відповідно їх називають змінними \(x\) та \(y\).
Оскільки значення \(x\) можна обрати довільно, а значення \(y\) залежить від вибраного, то \(x\) називають незалежною змінною, а \(y\) — залежною змінною.
Якщо кожному значення незалежної змінної відповідає єдинне значення залежної змінної, то таку залежність називають функціональною залежністю, або функцією.
Щоб показати цю залежність використовують запис \(y(x)\) або \(y=f(x)\).
Незалежну змінну ще називають аргументом, а залежну —значенням функції.
Функціональна залежність як математична модель реальних процесів
Ти вже знайомий із задачами практичного змісту, математичними моделями яких є рівняння. Моделями можуть бути й функціональні залежності.
Наприклад, модель рух автомобіля зі сталою швидкістю, або модель вимірювання атмосферного тиску протягом деякого часу.
Приклад:
Нехай автомобіль рухається зі сталою швидкістю 75 км/год. Відстань, яку він долає, залележить від часу його руху.
Позначимо цей час через \(t\) (год), а відстань, що він подолав — через \(S\) (км).
Для кожного значення змінної \(t\) (\(t\)\(>0\)) можна поставити у відповідність відповідне значення \(S\):
якщо ;
якщо .
Тобто залнжність змінної \(S\) від змінної \(t\) можна записати у вигляді формули: , де \(S\) — залежна змінна, t — незалежна.
Як розглянуто вище, у математиці зазвичай використовують позначення: \(y\) — залежна змінна, \(x\) \( \)— незалежна змінна.
Кожному значенню \(x\) відповідає лише одне значення \(y\).
Приклад:
Щогодини, починаючи з восьмої і до тринадцятої години, вимірвали атмосферний тиск та записували його до таблиці.
| Час \(t\), год | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Атмосферний тиск \(p\), мм. рт.ст. | 753 | 754 | 756 | 754 | 753 | 752 |
Таблиця задає відповідність між часом вимірювання \(t\), що є незалежною змінною, та значенням змінної \(p\) (тиск) — залежною змінною.
Як бачимо, описувати функціональну залежність можна у різний спосіб.
Джерела:
Істер. Алгебра 7 клас. 2024р.