Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Рівняння виду

ax + by = c

, де \(a, b, c\) — числа (коефіцієнти), \(x\) та \(y\) - змінні, називається лінійним рівнянням з двома змінними .

Розв'язком рівняння

ax + by = c

називають будь-яку пару чисел (\(x\);\(y\)), яка задовольняє це рівняння, тобто перетворює рівність зі змінними

ax + by = c

на правильну числову рівність.

Приклад:

Зобразити розв'язок лінійного рівняння з двома змінними

x + y = 3

точками у координатній площині \(xOy\).

Підберемо кілька розв'язків заданого рівняння, тобто кілька пар чисел, які задовольняють рівняння: \((3, 0), (2; 1), (1, 2), (0, 3), (4; -1)\).

Побудуємо у координатній площині \(xOy \) ці точки.
Усі вони лежать на одній прямій \(t\).

Пряма \(t\) є графіком рівняння

x + y = 3

, або
пряма \(t\) є геометричною моделлю цього рівняння.

Отже, якщо пара чисел (\(x\); \(y\)) задовольняє рівняння

ax + by = c

, то точка \(М\)(\(x\);\(y\)) належить прямій \(t\).

І навпаки, якщо точка \(М\)(\(x\);\(y\)) належить прямій \(t\), то пара чисел (\(x\);\(y\)) задовольняє рівняння

ax + by = c

Справедливою є така теорема:

Якщо хоча б один з коефіцієнтів \(a, b\) лінійного рівняння

ax + by = c

відмінний від нуля, то графіком рівняння служить пряма лінія.

Алгоритм побудови графіка рівняння

ax + by = c

, де

a \neq 0, b \neq 0

1. Надати змінній \(x\) конкретне значення

x = x_{1}

;

з рівняння

a x_{1} + by = c

знайти відповідне значення

y = y_{1}

2. Надати змінній \(x\) інше значення

x = x_{2}

;

з рівняння

a x_{2} + by = c

знайти відповідне значення

y = y_{2}

3. Побудувати на координатній площині \(xOy\) точки:

\begin{array}{l} (x_{1}; y_{1}) \\ (x_{2}; y_{2}) \end{array}

4. Провести через ці дві точки пряму — вона і буде графіком рівняння

ax + by = c

Приклад:

Побудувати графік рівняння

x - 2 y - 4 = 0

Будемо діяти за алгоритмом.
1. Нехай \(x = 0\), тоді отримаємо:

\begin{array}{l} 0 - 2 y - 4 = 0, \\ - 2 y = 4, \\ y = 4 : (- 2) \\ y = - 2 \end{array}

2. Нехай \(y = 0\), тоді отримаємо:

\begin{array}{l} x - 2 \cdot 0 - 4 = 0 \\ x - 4 = 0 \\ x = 4 \end{array}

3. Побудуємо на координатній площині \(xOy\) отримані точки:

\((0;-2)\) та \((4;0)\)

4. Проведемо через ці точки пряму.

Вона і буде графіком лінійного рівняння

x - 2 y - 4 = 0

Знайшли помилку?

1. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік