Теорія:

Маємо два лінійних рівняння з двома змінними \(x\) та \(y:\)
 
a1x+b1y+c1=0 \(і\) a2x+b2y+c2=0\(.\)
 
Треба знайти такі значення змінних \(x\) \(і\) \(y,\)  які водночас задовольняли б і перше, і друге рівняння, тобто перетворювали кожне з рівнянь у правильну рівність. Інакше кажучи: треба знайти спільний розв'язок обох рівнянь \((x; y),\) або розв'язати систему даних рівнянь.
Зверни увагу!
Рівняння системи записують одне під одним і об'єднують спеціальним символом — фігурною дужкою:
a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.
Пара значень \((x; y)\), яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називають розв'язком системи.
Розв'язати систему — це означає знайти всі її розв'язки або встановити, що їх немає.
Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь
 
x+2y5=0,2x+4y+3=0.
 
Графіком рівняння x+2y5=0 є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(5\)\(0\)
\(y\)\(0\)\(2,5\)
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l1\(,\) яка проходить через ці дві точки.
 
Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(-1,5\)\(2,5\)
\(y\)\(0\)\(-2\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l2\(,\) що проходить через ці дві точки.
 
lineara17.png
 
Прямі l1 \(і\) l2 паралельні. Отже, система не має розв'язків, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій із побудованих прямих.
 
Відповідь: система не має розв'язків.
 
Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:
 
2xy5=0,2x+y7=0.
 
Побудуємо графіки рівнянь системи, приведемо кожне рівняння до вигляду лінійної функції. Отримаємо з першого рівняння \(y = 2x - 5\) і з другого рівняння \(y = -2x + 7\).
 
Графіком рівняння \(y = 2x - 5\) є пряма.
 
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
\(x\)\(0\)\(3\)
\(y\)\(-5\)\(1\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l1\(,\) яка проходить через ці дві точки.
Графіком рівняння \(y =-2x +7\) також є пряма.
 
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y\), що задовільняють цьому рівнянню.
 
\(x\)\(0\)\(1\)
\(y\)\(7\)\(5\)
 
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму l2\(,\) що проходить через ці дві точки.
 
lineara18.png
Прямі l1 \(і\) l2 перетинаються в точці \(A,\) координати якої — єдиний розв'язок даної системи. 
Відповідь: \((3;1).\)
 
Для розв'язання цих двох прикладів застосовувався графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь.
  
Але цей метод є наближеним, оскільки координати точки перетину за кресленням не завжди легко визначити. Але все-таки графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь дуже важливий, коли необхідно визначити кількість розв'язків.
  
Зверни увагу!
Застосовуючи його, можна дійти таких висновків, що система з двох лінійних рівняння з двома змінними \(x\) та \(y\)
 
a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.
 
\(1.\) Матиме єдиний розв'язок, якщо прямі, які є графіками рівнянь, будуть перетинатися в одній точці, а коефіцієнти при змінних не будуть пропорційними: a1a2b1b2.
 
\(2.\)Не матиме розв'язків (система несумісна), якщо прямі будуть паралельні, а коефіцієнти при змінних будуть пропорційними, проте не пропорційні вільним членам: a1a2=b1b2c1c2.
 
\(3.\)Матиме нескінченну кількість розв'язків (система невизначена), прямі збігаються, а коефіцієнти при всіх змінних будуть пропорційними: a1a2=b1b2=c1c2.