Маємо два лінійних рівняння з двома змінними \(x\) та \(y:\)
\(і\) \(.\)
Треба знайти такі значення змінних \(x\) \(і\) \(y,\) які водночас задовольняли б і перше, і друге рівняння, тобто перетворювали кожне з рівнянь у правильну рівність. Інакше кажучи: треба знайти спільний розв'язок обох рівнянь \((x; y),\) або розв'язати систему даних рівнянь.
Зверни увагу!
Рівняння системи записують одне під одним і об'єднують спеціальним символом — фігурною дужкою:
Пара значень \((x; y)\), яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називають розв'язком системи.
Розв'язати систему — це означає знайти всі її розв'язки або встановити, що їх немає.
Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь
Графіком рівняння є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
| \(x\) | \(5\) | \(0\) |
| \(y\) | \(0\) | \(2,5\) |
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму \(,\) яка проходить через ці дві точки.
Графіком рівняння також є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
| \(x\) | \(-1,5\) | \(2,5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-2\) |
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму \(,\) що проходить через ці дві точки.
Прямі \(і\) паралельні. Отже, система не має розв'язків, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій із побудованих прямих.
Відповідь: система не має розв'язків.
Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:
Побудуємо графіки рівнянь системи, приведемо кожне рівняння до вигляду лінійної функції. Отримаємо з першого рівняння \(y = 2x - 5\) і з другого рівняння \(y = -2x + 7\).
Графіком рівняння \(y = 2x - 5\) є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y,\) що задовольняють цьому рівнянню.
| \(x\) | \(0\) | \(3\) |
| \(y\) | \(-5\) | \(1\) |
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму \(,\) яка проходить через ці дві точки.
Графіком рівняння \(y =-2x +7\) також є пряма.
Графіком рівняння \(y =-2x +7\) також є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних \(x\) та \(y\), що задовільняють цьому рівнянню.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) |
| \(y\) | \(7\) | \(5\) |
Побудуємо на координатній площині \(xОy\) пряму \(,\) що проходить через ці дві точки.
Прямі \(і\) перетинаються в точці \(A,\) координати якої — єдиний розв'язок даної системи.
Відповідь: \((3;1).\)
Для розв'язання цих двох прикладів застосовувався графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь.
Але цей метод є наближеним, оскільки координати точки перетину за кресленням не завжди легко визначити. Але все-таки графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь дуже важливий, коли необхідно визначити кількість розв'язків.
Зверни увагу!
Застосовуючи його, можна дійти таких висновків, що система з двох лінійних рівняння з двома змінними \(x\) та \(y\)
\(1.\) Матиме єдиний розв'язок, якщо прямі, які є графіками рівнянь, будуть перетинатися в одній точці, а коефіцієнти при змінних не будуть пропорційними:
\(2.\)Не матиме розв'язків (система несумісна), якщо прямі будуть паралельні, а коефіцієнти при змінних будуть пропорційними, проте не пропорційні вільним членам:
\(3.\)Матиме нескінченну кількість розв'язків (система невизначена), прямі збігаються, а коефіцієнти при всіх змінних будуть пропорційними: