Реальна ситуація може бути описана математичною мовою у вигляді математичної моделі, тобто системи двох лінійних рівнянь із двома змінними.
Складемо алгоритм для розв’язування текстових задач за допомогою системи рівнянь.
Алгоритм розв’язування текстової задачі за допомогою системи рівнянь
\(1.\) Проаналізувати умову задачі (основні величини, зв’язки між ними, вимоги задачі).
\(2.\) Створити математичну модель (у вигляді таблиці, рисунка, тексту тощо).
\(3. \)Скласти систему рівнянь до задачі.
\(4.\) Розв’язати отриману систему рівнянь.
\(5.\) Проаналізувати отримані результати з огляду на умову задачі.
\(6.\) Записати відповідь.
\(1.\) Проаналізувати умову задачі (основні величини, зв’язки між ними, вимоги задачі).
\(2.\) Створити математичну модель (у вигляді таблиці, рисунка, тексту тощо).
\(3. \)Скласти систему рівнянь до задачі.
\(4.\) Розв’язати отриману систему рівнянь.
\(5.\) Проаналізувати отримані результати з огляду на умову задачі.
\(6.\) Записати відповідь.
Приклад:
Якщо чисельник дробу помножити на \(2,\) а від знаменника відняти \(2,\) то вийде \(2.\)
Якщо від чисельника відняти \(4,\) а знаменник помножити на \(4,\) то вийде \(.\)
Якщо від чисельника відняти \(4,\) а знаменник помножити на \(4,\) то вийде \(.\)
Знайди цей дріб.
Розв'язання.
1. Аналізуємо умову задачі
Основні величини: звичайний дріб, над яким виконуються певні дії.
Аналіз дій, які виконуються над числами: нехай чисельник дробу дорівнює \(x,\) а знаменник — \(y.\)
Якщо чисельник дробу помножити на \(2,\) а від знаменника відняти \(2,\) то чисельник нового дробу дорівнюватиме \(2x,\) а знаменник нового дробу дорівнюватиме \(y-2.\)
2. Створюємо математичну модель задачі.
За умовою причому обидві рівності виконуються одночасно. Тому потрібно скласти систему рівнянь. Знаючи, що новий дріб дорівнюватиме \(2,\) утворюємо перше рівняння:
За умовою причому обидві рівності виконуються одночасно. Тому потрібно скласти систему рівнянь. Знаючи, що новий дріб дорівнюватиме \(2,\) утворюємо перше рівняння:
Якщо ж від чисельника відняти \(4,\) а знаменник помножити на \(4,\) тоді отримаємо друге рівняння:
3. Складаємо систему рівнянь:
4. Розв’язуємо отриману систему рівнянь методом алгебраїчного додавання.
Підставимо значення \(x-7\) в будь-яке рівняння системи, наприклад, у друге і знайдемо \(y.\)
.
5. Аналізуємо отримані результати з огляду на умову задачі, записуємо відповідь.
Повернемося до позначень: чисельник дробу — \(x,\) а знаменник дробу — \(y.\) Отримаємо дріб
Повернемося до позначень: чисельник дробу — \(x,\) а знаменник дробу — \(y.\) Отримаємо дріб
Відповідь:
Розглянемо задачі, у яких системи двох лінійних рівнянь із двома змінними використовують як математичні моделі реальних ситуацій.
Задачі на роботу
Якщо \(V\) — обсяг роботи, \(p\) — продуктивність праці, \(t\) — час, то:
- Якщо працюють декілька людей, то продуктивності їхньої роботи додаються.
- Якщо обсяг роботи не зазначений, то його приймають за одиницю.
Задачі на рух
Якщо \(s\) — відстань, \(v\) — швидкість, \(t\) — час, то:
Задачі на рух по воді
Якщо \(v\) — власна швидкість плавзасобу у стоячій воді, \(a\) — швидкість течії, то:
\(v + a\) — швидкість плавзасобу за течією;
\(v – a\) — швидкість плавзасобу проти течії.
Схема задачі на купівлю товарів
Ціна | Кількість | Вартість | |
І товар | \(x\) | \(y\) | \(A = xy\) |
ІІ товар |
Схема задачі на запис числа
Цифра десятків | Цифра одиниць | Значення числа | |
І число | \(x\) | \(y\) | \(10x + y\) |
ІІ число |
Схема задачі на співвідношення чисельників і знаменників дробу
Чисельник | Знаменник | Значення дробу | |
І дріб | \(x\) | \(y\) | |
ІІ дріб |
Схема задачі на продуктивність праці (на роботу)
Продуктивність праці | Час роботи | Обсяг роботи | |
І працівник | \(p\) | \(t\) | \(V = pt\) |
ІІ працівник |
Схема задачі на рух
Швидкість | Час | Відстань | |
І об'єкт | \(v\) | \(t\) | \(s = vt\) |
ІІ об'єкт |