Ще одна формула коренів квадратного рівняння

Ми з тобою вже звикли до того, що корені квадратного рівняння

a x^{2} + bx + c = 0

можна знайти за такою формулою:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

Звісно, це можливо, якщо дискримінант

D = b^{2} - 4 ac

— невід'ємне число; якщо ж \(D < 0\), то ця формула не має сенсу, а квадратне рівняння не має коренів.

Але математики ніколи не оминуть можливості полегшити собі обчислення.

Вони виявили, що формулу

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

можна спростити у випадку, коли коефіцієнт \(b\) є парним числом.

Нехай у квадратного рівняння

a x^{2} + bx + c = 0

коефіцієнт \(b\) має вигляд \(b = 2k\).

Підставивши у формулу

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

число \(2k\) замість \(b\), отримаємо:

x_{1,2} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{{(2 k)}^{2} - 4 ac}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{4 k^{2} - 4 ac}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm \sqrt{4 (k^{2} - ac)}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm 2 \sqrt{k^{2} - ac}}{2 a} = \frac{2 (- k \pm \sqrt{k^{2} - ac})}{2 a} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

Корені квадратного рівняння

a x^{2} + bx + c = 0

можна обчислювати за такою формулою:

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

Порівняй її з іншою формулою:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

У чому її переваги?

По-перше, до квадрату підноситься не число \(b\), а його половина

(k = \frac{b}{2})

По-друге, віднімається з цього квадрата не \(4ac\), a просто \(ac\).

По-третє, у знаменнику міститься не \(2a\), а просто \(a\).

Як бачиш, принаймні в трьох моментах ми полегшуємо собі обчислення.

Особливо приємно виглядає формула

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

для поданого квадратного рівняння, тобто для випадку, коли \(a = 1\).

Тоді отримуємо:

x_{1,2} = - k \pm \sqrt{k^{2} - ac}

Це формула коренів рівняння

x^{2} + 2 kx - c = 0

Отже, якщо тобі зустрінеться квадратне рівняння вигляду

x^{2} + 2 kx - c = 0

, радимо скористатися формулою

x_{1,2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - ac}}{a}

(або

x_{1,2} = - k \pm \sqrt{k^{2} - ac}

у разі, якщо \(a = 1\)), оскільки обчислення будуть простішими.

Але якщо ти боїшся заплутатися в різноманітті формул, користуйся звичною загальною формулою коренів квадратного рівняння:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

Знайшли помилку?

2. Ще одна формула коренів квадратного рівняння