Теорія:

Раціональні числа — це числа вигляду mn , де \(m\) — число, а \(n\) — натуральне число.
Множину раціональних чисел прийнято позначати буквою .
 
Виконується співвідношення  , оскільки будь-яке число \(m\) можна зобразити у вигляді m1.

Отже, можна сказати, що
раціональні числа — це всі цілі числа, а також додатні та від'ємні звичайні дроби.
Будь-який десятковий дріб як окремий випадок звичайного дробу також є раціональним числом.
Для раціональних чисел, окрім вказаного вище запису mn, можна використовувати інший вигляд запису, який представлено нижче.

Розглянемо ціле число \(7\), звичайний дріб 511 та десятковий дріб \(4,244\).
 
Ціле число \(7\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(7,0000...\) .
 
Десятковий дріб \(4,244\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(4,244000...\) .
 
Для числа 511 скористаємося методом «ділення кутом».
 
ugol1.png
 
Як бачимо, після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(45, 45, 45\), ....
 
Отже, 511 \(= 0,454545...\).
 
Коротше це записують так: \(0,(45)\)
Група цифр після коми, що повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб —  нескінченним десятковим періодичним дробом.
Число \(7\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\) : \(7 = 7,00000... = 7,(0)\).
 
Так само можна зробити і з числом \(4,244\): \(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).
 
Щоб усе було чітко, кажуть так: \(4,244\) — кінцевий десятковий дріб, а \(4,244000...\) — нескінченний десятковий дріб.

Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Правильно і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна зобразити у вигляді звичайного дробу.

Приклад:

Завдання. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний десятковий періодичний дріб:

а) \(1,(47)\);  б) \(1,3(47)\).


Розв'язання:

а) нехай \(x  = 1,(47)\), тобто \(x\) = \(1,474747...\) .

Помножимо \(x\) на таке число, щоб кома пересунулася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді містяться дві цифри, потрібно, щоб кома пересунулася вправо на дві цифри, а для цього число \(x\) треба помножити на \(100\).
 
Отримаємо: \(100x = 147,474747...\) .
 
Отже:
 
\(100x = 147,474747...  \)
           \( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
 \(99x = 146\)
 
 
\( x=\)14699
 
Тож \( 1,(47) =\) 14699 \(= 1\) 4799
 
б) нехай \( x = 1,3(47) = 1,3474747... \).
 
Спочатку помножимо \(x\) на \(10\), аби в отриманому добутку період починався одразу після коми: \(10x = 13,474747...\). Тепер число \(10x\) помножимо на \(100\) — тоді кома зміститься рівно на один період вправо: \(1000x = 1347,474747...\) .
 
Маємо:
 
\(1000x = 1347,474747...\) 
       \(10x = 13,474747... \)
__________________________
  \( 990x = 1334\)
 
\(x =\) 1334990 \(=\) 667495 \(= 1\) 172495