Раціональні числа — це числа вигляду , де \(m\) — число, а \(n\) — натуральне число.
Виконується співвідношення , оскільки будь-яке число \(m\) можна зобразити у вигляді .
Отже, можна сказати, що
раціональні числа — це всі цілі числа, а також додатні та від'ємні звичайні дроби.
Будь-який десятковий дріб як окремий випадок звичайного дробу також є раціональним числом.
Для раціональних чисел, окрім вказаного вище запису , можна використовувати інший вигляд запису, який представлено нижче.
Розглянемо ціле число \(7\), звичайний дріб та десятковий дріб \(4,244\).
Ціле число \(7\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(7,0000...\) .
Десятковий дріб \(4,244\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(4,244000...\) .
Для числа скористаємося методом «ділення кутом».
Як бачимо, після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(45, 45, 45\), ....
Отже, \(= 0,454545...\).
Коротше це записують так: \(0,(45)\)
Група цифр після коми, що повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.
Число \(7\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\) : \(7 = 7,00000... = 7,(0)\).
Так само можна зробити і з числом \(4,244\): \(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).
Щоб усе було чітко, кажуть так: \(4,244\) — кінцевий десятковий дріб, а \(4,244000...\) — нескінченний десятковий дріб.
Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
Правильно і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна зобразити у вигляді звичайного дробу.
Приклад:
Завдання. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний десятковий періодичний дріб:
а) \(1,(47)\); б) \(1,3(47)\).
Розв'язання:
а) нехай \(x = 1,(47)\), тобто \(x\) = \(1,474747...\) .
Помножимо \(x\) на таке число, щоб кома пересунулася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді містяться дві цифри, потрібно, щоб кома пересунулася вправо на дві цифри, а для цього число \(x\) треба помножити на \(100\).
Отримаємо: \(100x = 147,474747...\) .
Отже:
\(100x = 147,474747... \)
\( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
\(99x = 146\)
\( x=\)
Тож \( 1,(47) =\) \(= 1\)
б) нехай \( x = 1,3(47) = 1,3474747... \).
Спочатку помножимо \(x\) на \(10\), аби в отриманому добутку період починався одразу після коми: \(10x = 13,474747...\). Тепер число \(10x\) помножимо на \(100\) — тоді кома зміститься рівно на один період вправо: \(1000x = 1347,474747...\) .
Маємо:
\(1000x = 1347,474747...\)
\(10x = 13,474747... \)
__________________________
\( 990x = 1334\)
\(x =\) \(=\) \(= 1\)