Теорія:

Для того, щоб скоротити алгебраїчний дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник і знаменник мають спільні множники, їх можна скоротити.
Прийоми розкладання многочленів на множники:
  • винесення спільного множника за дужки;
  • використання тотожностей скороченого множення;
  • спосіб групування.
 
001.PNG
дріб скорочений на двочлен
 \((m + 2)\);
002.PNG
чисельник і знаменник дробу розкладені на множники, дріб скорочений на спільний множник \((x – y)\);
003.PNGчисельник і знаменник дробу розкладені на множники, дріб скорочений на \((a - b)\);
004.PNG
чисельник дробу розкладений на множники за допомогою формули квадрата суми; у знаменнику спільний множник винесено за дужки; дріб скорочений на спільний множник \((m + n)\).
Тотожності скороченого множення, які можна використовувати при скороченні дробів
Різниця квадратів: a2b2=(ab)(a+b);
Квадрат суми: (a+b)2=a2+2ab+b2;
Квадрат різниці: (ab)2=a22ab+b2;
Сума кубів: a3+b3=(a+b)(a2ab+b2);
Різниця кубів: a3b3=(ab)(a2+ab+b2).
Приклад:
Скороти дріб: x24x24x+4.
Рішення:
  
1. Чисельник і знаменник дробу розкладаємо на множники, використовуючи формули різниці квадратів і квадрата різниці.
 
x24x24x+4=(x2)(x+2)(x2)2
                     1211.PNG
      
2. Скорочуємо дріб на загальний множник — двочлен \((x-2)\).
 
005.PNG
Приклад:
Перетвори дріб 2x+2 таким чином, щоб у знаменнику було 3x212.
 
Рішення:
1. Аби зрозуміти, як розширити дріб 2x+2, вираз 3x212 розкладаємо на множники.
3x212=3(x24)=3(x2)(x+2)
 
2. Порівнюємо отриманий вираз зі знаменником дробу \(x + 2\) та робимо висновок, що додатковим множником цього дробу є \(3(x-2)\).
 
006.PNG
Приклад:
Спрости вираз: 2x3+166x212x+24
  
Рішення:
  
1. У чисельнику за дужки виносимо спільний множник \(2\), а в знаменнику — спільний множник \(6\).
 
2x3+166x212x+24=2(x3+8)6(x22x+4)
 
2. Вираз x3+8 розкладаємо на множники, використовуючи формулу суми кубів, а потім дріб скорочуємо.
 
007.PNG