Послідовність (), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число \(q\), називається геометричною прогресією.
Число \(q\) називається знаменником геометричної прогресії.
та інші.
Загальний член геометричної прогресії можна обчислити, використовуючи формулу:
\(=\), де
\(n\)- порядковий номер члена прогресії,
- перший член послідовності,
\(q\)- знаменник.
Приклад:
Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження \(n\)-го члена, якщо \(=\) 8 і \(q = 0,5\).
\(=\) 8
\(=\) \(=\) 4
\(=\) \(=\) 2
\(=\) \(=\) 1
\(=\) \(=\) 0,5
\(=\)
\(=\)
Сума перших \(n\) членів геометричної прогресії
Суму перших \(n\) членів геометричної прогресії можна знайти, якщо обчислити її члени , , \(...\), і потім їх значення додати.
Обчислюючи суму перших \(n\) членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:
1-у формулу:
, де
\(n\)- кількість членів послідовності (порядковий номер),
- перший член послідовності,
- \(n\)-ий член послідовності,
\(q\)- знаменник.
Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:
Приклад:
Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо \(= 8\) і \(q= 0,5\).
I варіант
Розглянувши перший приклад, бачимо:
\(= 8\), \(=\) 4, \(=\) 2, \(=\) 1 і \(=\) 0,5.
Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):
\(=\) \(=\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\) \(=\)
\(=\) 15,5
II варіант
Використовується 1-а формула:
, де
\(n = 5\)
\(=8\)
\(q = 0,5\)
\(=\) \(= 0,5\) (оскільки \(n = 5\))
\(=\) \(=\) 15,5
III варіант
Використовується 2-а формула:
\(=\) \(=\) 15,5
Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату.
Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює \(=\) 15,5.