Теорія:

Перпендикуляр від точки до прямої
Відрізок \(AC\) називається перпендикуляром, проведеним із точки \(A\) до прямої \(a,\) якщо відрізок \(AC\) і пряма \(a\) перпендикулярні.
Perpendikuls2.png
Точка \(C\) називається основою перпендикуляра.
Від точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, причому лише один.
Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png
Доведемо, що від точки \(A,\) яка не лежить на прямій \(BC,\) можна провести перпендикуляр до цієї прямої.
 
Припустимо, що в нас є ABC\(.\)
 
Відкладемо від променя \(BC\) кут, що дорівнює поданому, і сумістимо ці кути за допомогою накладання. Уявімо, що складаємо аркуш паперу з рівними кутами по стороні \(BC.\)
Сторона \(BA\) суміститься зі стороною BA1\(.\)
 
При цьому точка \(A\) накладеться на точку A1\(.\)
 
Отже, поєднується ACB  із A1CB\(.\)
 
Але ACB і A1CB  — суміжні, отже, кожен із них прямий.
 
Пряма AA1 перпендикулярна до прямої \(BC,\) а відрізок \(AC\) є перпендикуляром від точки \(A\) до прямої \(BC.\)

Якщо припустити, що через точку \(A\) можна провести ще один перпендикуляр до прямої \(BC,\) то він знаходитиметься на прямій, що перетинається з AA1\(.\)
 
Але мають бути дві перпендикулярні прямі, відкладені до однієї й тієї самої прямої паралельними, що не можуть перетинатися.

Ми отримали суперечність. Отже, через подану точку до прямої можна провести лише один перпендикуляр.
Медіани, бісектриси і висоти трикутника
Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

\(1)\) знайти середину сторони;

\(2)\) з'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежним відрізком. Це і буде медіана.
 
Mediana.png
 
У трикутника три сторони, тому можна побудувати три медіани.
Усі медіани перетинаються в одній точці.
Mediana1.png
Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.
Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

\(1)\) побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини);

\(2)\) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

\(3)\) з'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.
 
Bisektrise.png
У трикутника три кути і три бісектриси.
Усі бісектриси перетинаються в одній точці.
Bisektrise1.png
Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.
Augstums.png
Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти.
Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
Augstums1.png
Але, як згадано вище, для деяких видів трикутників побудова висот і точки їх перетину відрізняються.

Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін.
 
Augstums2.png
Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником.
 
Augstums3.png
 
Зверни увагу!
Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.
Visi.png