Теорія:

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

\(1)\) Знайти середину сторони.

\(2)\) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.
 
Mediana.png
 
Зверни увагу!
У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:
  • Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
  • Медіани трикутника зображені чорним кольором.
  • Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
  • В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.
  • Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
  • В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.
Mediana1.png
Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.
Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

\(1)\) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).

\(2)\) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

\(3)\) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.
 
Bisektrise.png
Зверни увагу!
У трикутника є три бісектриси, які  перетинаються в одній точці і мають такі властивості:
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
  • Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
  • Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
  • В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
  • Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
Bisektrise1.png
Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.
Augstums.png
Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.
Augstums1.png
Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.  
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.
 
Augstums2.png
Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.
 
Augstums3.png
 
Зверни увагу!
Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.
Visi.png
 
Зверни увагу!
Кожний трикутник має три висоти, три медіани й три бісектриси.
Довжини сторін трикутника, протилежних кутам \(А,\) \(В,\) \(С,\) позначають відповідно \(а,\) \(b,\) \(с.\) Довжини висот позначають ha\(,\) hb\(,\)  hc\(,\) медіан — ma\(,\) mb\(,\) mc\(,\) бісектрис — la\(,\) lb\(,\) lc\(.\) Індекс показує, до якої сторони проведено відрізок.
 
Це означає:
  • Проти кута \(А\) лежить сторона \(а.\)
  • До сторони \(а\) проведено висоту ha\(,\) медіану ma і бісектрису la\(.\)