Медіани, бісектриси і висоти трикутника

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

$1)$ Знайти середину сторони.

$2)$ З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

Зверни увагу!

У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
Медіани трикутника зображені чорним кольором.
Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.
Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

$1)$ Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).

$2)$ Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

$3)$ З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

Зверни увагу!

У трикутника є три бісектриси, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

$1)$ провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

$2)$ із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною

90 °

). Це і буде висота.

Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.