Теорія:

Sliedes-6.jpg
Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині
Дві прямі лежать на одній площині або мають лише одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки.
У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому — що прямі не перетинаються.
Дві прямі \(a\) і \(b\) на площині, які не перетинаються, називаються  паралельними і позначаються ab\(.\)
Зверни увагу!
Якщо розглядати прямі, які не лежать на одній площині, то можлива ситуація, що прямі не перетинаються, але й не є паралельними.Cube.png
Одна з ознак паралельності прямих на площині: 
Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, вони паралельні.
Lenku_veidi_perp.png
Цю ознаку легко довести, якщо згадати, що до прямої на площині з будь-якої точки можна провести лише один перпендикуляр.
 
Припустимо, що прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, не є паралельними, тобто мають спільну точку.
 
Lenku_veidi_perp1.png
Виникає суперечність: із однієї точки \(H\) до прямої \(c\) проведено два перпендикуляри. Таке неможливо, тому дві прямі на площині, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними.
Щоб розглянути інші ознаки, потрібно ознайомитися з деякими видами кутів
\(1.\) Пригадаємо, які нам відомі назви та властивості кутів, утворених двома прямими, що перетинаються.
 
Lenku_veidi_teor2.png
 
Вертикальні кути рівні: 1=3;2=4
 
Сума суміжних кутів складає 180°\(:\)
 
1+2=2+3=3+4=4+1=180°
 
\(2.\) Назви та властивості кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (січною):
Lenku_veidi_teor1.png
Внутрішні різносторонні кути: 3 і5;2 і8
 
Відповідні кути: 1 і 5;4 і 8;2 і 6;3 і 7
 
Внутрішні односторонні кути: 3 і 8;2 і 5
 
Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих \(a\) і \(b.\)
 
Отже, друга ознака паралельності прямих на площині така:
Якщо при перетині двох прямих третьою січною внутрішні різносторонні кути рівні, або
відповідні кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180 ° ,\) то прямі паралельні.
Lenku_veidi_paral1.png
 
Доведемо цю ознаку.
 
Якщо при перетині прямих \(a\) і \(b\) прямою \(c\) внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі \(a\) і \(b\) паралельні.
 
Наприклад, якщо 3=5\(,\) то ab\(.\)
Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png
 
\(1.\) Позначимо точки \(C\) і \(D,\) у яких прямі \(a\) і \(b\) перетинає пряма \(c.\) Через серединну точку \(K\) цього відрізка проведемо перпендикуляр \(AB\) до прямої \(a.\)
 
\(2.\) CKA \(=\) DKB як вертикальні кути, 3 \(=\) 5 \(=\) α\(,\) \(CK = KD,\) отже ΔCKA \(=\) ΔDKB за ознакою про сторону та два кути.
 
\(3.\) Зрозуміло, що якщо ΔCKA прямокутний, то й ΔDKB прямокутний, і \(AB\) перпендикулярний до прямої \(b.\)

\(4.\) Прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними (відповідно до першої доведеної ознаки).
 
\(5.\) У випадку, коли відповідні кути рівні, маємо на увазі, що вертикальні кути рівні, і доводимо, як у пунктах \(1–4.\)
 
Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png
 
\(6.\) У випадку, коли сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180°,\) маємо на увазі, що сума суміжних кутів також дорівнює \(180°\) і використовуємо в доведенні пункти \(1–4.\)
Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png
 
Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих.
При перетині двох паралельних прямих третьою січною:
 
  • внутрішні різносторонні кути рівні;
     
  • відповідні кути рівні;
     
  • сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180°.\)