Теорія:

Згадаймо, що при множенні вектора на число k0 ми отримуємо два колінеарних (паралельних) вектори, які або співнапрямлені, якщо k>0\(,\) або протилежно напрямлені, якщо k<0\(.\)
 
Довжини векторів відрізняються у \(k\) разів.
Reiz1.png
 
Правильним є і протилежне твердження:
Якщо ненульові вектори колінеарні, то обов'язково можна знайти число k0 так, що b=ka\(.\)
Для неколінеарних векторів правильним є твердження, що кожен вектор на площині можна зобразити у вигляді c=ka+mb\(.\) 
 
Кажуть, що вектор c розкладений за векторами a і b\(,\) а числа \(k\) і \(m\) називають коефіцієнтами розкладання.
 
Це правильно для будь-якого вектора на площині, причому коефіцієнти визначаються єдиним чином.
Izteikšana1.png
Виберемо два неколінеарних вектори на осях системи координат. Нехай довжина кожного з них буде дорівнювати одиничному відрізку в цій системі координат. Ці вектори називають координатними векторами і позначають i та j\(.\)
 
Koord_vektori_teor.png
 
Якщо від початку координат відкласти вектор a\(,\) то його можна розкласти за векторами i та j наступним чином:
 
a=3i+2j
У цьому розкладанні коефіцієнти координатних векторів називаються координатами вектора a\(.\)
Це записують як a3;2\(.\)
 
Будь-який вектор, що дорівнює вектору a\(,\) можна перемістити і відкласти від початку координат. Отже, можемо зробити висновок:
Рівні вектори мають рівні координати.
Але в той же час у координатній системі можна перемістити вектори i і j\(,\) і таким чином визначити координати векторів незалежно від їх місця розташування в координатній системі.
 
Легко зрозуміти, що різниця між абсцисами (координатами \(x\)) кінцевої і початкової точки вектора і є абсцисою вектора, а різниця між ординатами (координатами \(y\)) кінцевої і початкової точки вектора є ординатою вектора.
 
Зв'язок між координатами протилежних векторів випливає з того, що якщо помножити вектор на \(-1,\) результатом буде протилежний вектор.
У протилежних векторів протилежні координати.
Важливо зрозуміти ще кілька цікавих зв'язків між координатами векторів однакової довжини.
 
Vektori_teor_preteji.png