2. Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

1. Застосування формул суми і різниці тригонометричних функцій.

\begin{array}{l} \sqrt{3} \sin (3 x) + \cos (3 x) = \sqrt{2}, \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (3 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos (\frac{π}{6}) \cdot \sin (3 x) + \sin (\frac{π}{6}) \cdot \cos (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin (\frac{π}{6} + 3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \frac{π}{6} + 3 x = {(- 1)}^{k} \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + π k, k \in Z, \\ \frac{π}{6} + 3 x = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{π}{4} + π k, k \in Z, \\ 3 x = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + π k, k \in Z, \\ x = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{π}{12} - \frac{π}{18} + \frac{π k}{3}, k \in Z . \end{array}

2. Використання універсальної підстановки.

\begin{array}{l} 2 \cdot \sin (x) + 3 \cdot \cos (x) = 1, \\ У лівій частині винесемо за дужки число \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} . \\ \sqrt{13} \cdot (\frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \sin (x) + \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \cos (x)) = 1 . \\ За основною тригонометричною тотожністю {(\frac{2}{\sqrt{13}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{13}})}^{2} = 1, отже \\ можемо записати : \sin (β) = \frac{3}{\sqrt{13}} i \cos (β) = \frac{2}{\sqrt{13}}, де β \in (0; \frac{π}{2}) . Тоді β = \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}} . \\ \sqrt{13} \cdot (\cos (β) \cdot \sin (x) + \sin (β) \cdot \cos (x)) = 1, \\ \sin (β + x) = \frac{1}{\sqrt{13}}, \\ x = {(- 1)}^{k} \arcsin (\frac{1}{\sqrt{13}}) - \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}} + π k, k \in Z . \end{array}

3. Використання формул пониження степеня.

\begin{array}{l} \sin^{2} (2 x) - \cos^{2} (3 x) = 1, \\ \frac{1 - \cos (4 x)}{2} - \frac{\cos (6 x) - 1}{2} = 1, \\ - \cos (6 x) - \cos (4 x) = 0, \\ - 2 \cos \frac{6 x + 4x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 4x}{2} = 0, \\ \cos (5 x) = 0 або \cos (x) = 0, \\ x_{1} = \frac{π}{10} + \frac{π n}{5}, n \in Z . \\ x_{2} = \frac{π}{2} + π k, k \in Z . \end{array}

4. Розв'язування однорідних рівнянь.

\begin{array}{l} 1.5 \cdot \sin (6 x) + \sin^{2} (3 x) = 2, \\ 3 \cdot \sin (3 x) \cdot \cos (3 x) + \sin^{2} (3 x) = 2, \\ 3 \cdot \frac{\sin (3 x) \cdot \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} + \frac{\sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} = \frac{2}{\cos^{2} (3 x)}, \\ 3 \cdot tg (3 x) + {tg}^{2} (3 x) = 2 \cdot ({tg}^{2} (3 x) + 1), \\ {tg}^{2} (3 x) - 3 \cdot tg (3 x) + 2 = 0, \\ tg (3 x) = 2 або tg (3 x) = 1, \\ 3 x = arctg (2) + π n, n \in Z, 3 x = arctg (1) + π k, k \in Z; \\ x_{1} = \frac{1}{3} arctg (2) + \frac{π n}{3}, n \in Z, x_{2} = \frac{π}{12} + \frac{π k}{3}, k \in Z . \end{array}

5. Зведення до однієї тригонометричної функції.

\begin{array}{l} \sin (3 x) + \cos (5 x) = 0, \\ \sin (3 x) + \sin (\frac{π}{2} - 5 x) = 0, \\ 2 \sin \frac{3 x + \frac{π}{2} - 5 x}{2} \cdot \cos \frac{3 x - \frac{π}{2} + 5 x}{2} = 0, \\ \sin \frac{π - 4 x}{4} \cdot \cos \frac{16 x - π}{4} = 0 . \\ \sin \frac{π - 4 x}{4} = 0 або \cos \frac{16 x - π}{4} = 0; \\ \frac{π - 4 x}{4} = π n, n \in Z; \frac{16 x - π}{4} = \frac{π}{2} + π k, k \in Z; \\ x = \frac{π}{4} - π n, n \in Z; x = \frac{3 π}{8} + \frac{π k}{4}, k \in Z . \end{array}

Також матеріали по даній темі можна знайти в курсі алгебри 10 клас у розділі "Тригонометричні рівняння" .

Знайшли помилку?