Розглянемо функцію, графік якої зображений на малюнку:
Для заданого випадку границя функції при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює \(b\). Записують:
Змістовне значення наведеного вище запису полягає в наступному: якщо значення аргументу обираються все ближче і ближче до значення \(x=a\), тоді значення функції все менше і менше відрізняються від граничного значення \(b\).
Можна сказати й так: в досить малому околі точки \(a\) справедливо наближена рівність (причому це наближена рівність тим точніша, чим менший окіл обирається).
При цьому, підкреслимо, сама точка \(x=a\) виключається з розгляду.
Функцію називають неперервною в точці \(x=a\), якщо виконується співвідношення:
Іншими словами, функцію називають неперервною в точці \(x=a\), якщо границя функції при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює значенню функції в точці \(x=a\).
Функцію називають неперервною на проміжку \(X\), якщо вона неперервна в кожній точці проміжку.
Якщо вираз \(f(x)\) утворено з раціональних, ірраціональних, тригонометричних і зворотних тригонометричних виразів, тоді функція неперервна в будь-якій точці, в якій визначено вираз \(f(x)\).