Теорія:

Розглянемо функцію, графік якої зображений на малюнку:

grafiks.bmp

Для заданого випадку границя функції y=f(x) при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює \(b\). Записують: limxaf(x)=b

Змістовне значення наведеного вище запису полягає в наступному: якщо значення аргументу обираються все ближче і ближче до значення \(x=a\), тоді значення функції все менше і менше відрізняються від граничного значення \(b\).

Можна сказати й так: в досить малому околі точки \(a\) справедливо наближена рівність f(x)b (причому це наближена рівність тим точніша, чим менший окіл обирається).

При цьому, підкреслимо, сама точка \(x=a\) виключається з розгляду.

Функцію y=f(x) називають неперервною в точці \(x=a\), якщо виконується співвідношення:

limxaf(x)=f(a)

Іншими словами, функцію  y=f(x) називають неперервною в точці \(x=a\), якщо границя функції y=f(x) при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює значенню функції в точці \(x=a\).

Функцію y=f(x) називають неперервною на проміжку \(X\), якщо вона неперервна в кожній точці проміжку.

Якщо вираз \(f(x)\) утворено з раціональних, ірраціональних, тригонометричних і зворотних тригонометричних виразів, тоді функція y=f(x) неперервна в будь-якій точці, в якій визначено вираз \(f(x)\).