Розв'язання рівняння методом введення нової змінної — урок. Алгебра, 11 клас.

Метод введення нової змінної:

\(1.\) У рівнянні якась його частина замінюється на іншу змінну (\(a, y, t, ...\)) (колишнє невідоме одночасно з новим у рівнянні бути не може).

\(2.\) Розв'язується нове рівняння.

\(3.\) Повертаються до позначеного і, використовуючи отримане число (корені), обчислюється необхідне невідоме.

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

{(2x - 21)}^{2} - 5 (2 x - 21) + 4 = 0

Це рівняння можна розв'язати й без використання нової змінної (розкриваються дужки за формулою різниці квадратів і т. д.), але розв'язання буде довгим і з великими числами.

Використаємо те, що обидві дужки рівні.

Позначимо \(2x-21 = y.\) Отримаємо просте квадратне рівняння:

\begin{array}{l} y^{2} - 5 y + 4 = 0 за теоремою Вієта \\ y_{1} = 4 y_{2} = 1 \end{array}

Повернемося до позначеного:

\(1)\) \(2x - 21 = 4\)
\(2x = 25\)

\(x = 12,5\)

\(2)\) \(2x - 21 = 1\)

\(2x = 22\)

\(x = 11\)

Відповідь: \(x = 12,5; x = 11\)

Методом введення нової змінної розв'язуються біквадратні рівняння:

\begin{array}{l} a x^{4} + b x^{2} + c = 0, де a, b, c \in R \\ x^{2} = y \\ a y^{2} + by + c = 0 \end{array}

У біквадратних рівняннях завжди використовується нова змінна.

Виходить квадратне рівняння.

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

\begin{array}{l} x^{4} - 13 x^{2} + 12 = 0 \\ x^{2} = y, тоді y^{2} - 13 y + 12 = 0 \\ y_{1} = 12 y_{2} = 1 \\ 1) x^{2} = 12 x = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3} \\ 2) x^{2} = 1 x = \pm 1 \\ Відповідь : \{- 2 \sqrt{3}; - 1; 2 \sqrt{3}; 1\} \end{array}

Яку заміну можна використовувати в цьому рівнянні?

\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 11} = 2 Намагаємося вигідно позначити \\ \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 10 + 1} = 2 x^{2} + 10 = y \\ \frac{4}{y} + \frac{5}{y + 1} = 2 \end{array}

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!