1. Лінійна функція y=kx+m та її графік

Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою
\(y = kx + b\), де \(x\) — незалежна змінна, \(k\) і \(b\) — деякі числа.
Застосовуючи цю формулу, якщо відоме конкретне значення \(x\), можна обчислити відповідне значення \(y\).
Нехай \(y = 0,5x - 2\).
Тоді:
якщо \(x = 0\), тоді \(y = - 2\);
якщо \(x = 2\), тоді \(y = - 1\);
якщо \(x = 4\), тоді \(y = 0\) і т. д.
 
Зазвичай ці результати оформлюють у вигляді таблиці:
 
\(x\) \(0\) \(2\) \(4\)
\(y\) \(-2\) \(-1\) \(0\)
 
\(x\) - незалежна змінна (або аргумент), \(y\) - залежна змінна.
Графіком лінійної функції \(y = kx + b\) є пряма.
Щоб побудувати графік даної функції, нам достатньо мати координати двох точок, що належать графіку функції.
 
Побудуємо на координатній площині \(xOy\) точки \((0;-2)\) і \((4;0)\), оформлені у таблиці,  і проведемо через них пряму.
 
lineara1.png
 
Багато реальних ситуацій описуються математичними моделями, що являють собою лінійні функції.
Приклад:
На складі було \(500\) т вугілля. Щодня почали підвозити \(30\) т вугілля. Скільки вугілля буде на складі через \(2\); \(4\); \(10\) днів?
Якщо пройшло \(x\) днів, то кількість \(y\) вугілля на складі (у тоннах) можна виразити формулою \(y = 500 + 30x\).
Таким чином, лінійна функція \(y = 30x + 500\) є математичною моделлю ситуації.
За \(x = 2\) маємо \(y = 560\);
за \(x = 4\) маємо \(y = 620\);
за \(x = 10\) маємо \(y = 800\) 
 
Однак треба враховувати, що в цій ситуації x∈ℕ. (натуральне число)
Якщо лінійну функцію \(y = kx + b\) треба розглядати не за всіх значень \(x\), а лише для значень \(x\) із деякої числової множини \(X\), то пишуть y=kx+b,x∈X.
Приклад:
Побудувати графік лінійної функції:
a) y=−2x+1,x∈−3;2 
b) y=−2x+1,x∈−3;2
 
Складемо таблицю значень функції:
\(x\) \(-3\) \(2\)
\(y\) \(7\) \(-3\)
 
Позначимо на координатній площині \(xOy\) точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) та проведемо через них пряму.
 
Далі виділимо відрізок, що з'єднує позначені точки. Цей відрізок і є графіком лінійної функції y=−2x+1,x∈−3;2.
Точки \((-3;7)\) і \((2;-3)\) належать даному інтервалу (квадратні дужки) та на рисунку позначені темними кружечками.
 
lineara2.png
 
b) У другому випадку функція та сама, тільки значення \(x = -3\) і \(x = 2\) не розглядаються, оскільки вони не належать інтервалу \((-3; 2)\) (круглі дужки). 
Тому точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) на рисунку позначені світлими кружечками.
 
lineara3.png
 
Розглядаючи графік лінійної функції на інтервалі, можна назвати найбільше і найменше значення лінійної функції.
 
У випадку
a) y=−2x+1,x∈−3;2 маємо, що yнайб \(= 7\) і yнайм \(= -3\),
b) y=−2x+1,x∈−3;2 маємо, що ні найбільшого, ні найменшого значень лінійної функції немає, оскільки обидва кінці відрізка, у яких саме й досягалися найбільше і найменше значення, виключені з розгляду. 
У ході побудови графіків лінійних функцій, можна ніби «підніматися вгору» або «спускатися з гірки», тобто лінійна функція або зростає, або спадає.
Якщо \(k>0\), тоді лінійна функція  \(y = kx + b\) зростає;
якщо \(k<0\), тоді лінійна функція \(y = kx + b\) спадає.
Попередня тема
Повернутись до теми
Наступна теорія
Copyright © 2024 МiйКлас