Лінійна функція — це функція, яку можна задати формулою
\(y = kx + b\), де \(x\) — незалежна змінна, \(k\) і \(b\) — деякі числа.
Застосовуючи цю формулу, якщо відоме конкретне значення \(x\), можна обчислити відповідне значення \(y\).
Нехай \(y = 0,5x - 2\).
Тоді:
якщо \(x = 0\), тоді \(y = - 2\);
якщо \(x = 2\), тоді \(y = - 1\);
якщо \(x = 4\), тоді \(y = 0\) і т. д.
Зазвичай ці результати оформлюють у вигляді таблиці:
\(x\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
\(y\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
\(x\) - незалежна змінна (або аргумент), \(y\) - залежна змінна.
Графіком лінійної функції \(y = kx + b\) є пряма.
Щоб побудувати графік даної функції, нам достатньо мати координати двох точок, що належать графіку функції.
Побудуємо на координатній площині \(xOy\) точки \((0;-2)\) і \((4;0)\), оформлені у таблиці, і проведемо через них пряму.
![lineara1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/5c5e6518-f10d-477a-b9cc-3e8e5bc7f4dc/lineara1.png)
Багато реальних ситуацій описуються математичними моделями, що являють собою лінійні функції.
Приклад:
На складі було \(500\) т вугілля. Щодня почали підвозити \(30\) т вугілля. Скільки вугілля буде на складі через \(2\); \(4\); \(10\) днів?
Якщо пройшло \(x\) днів, то кількість \(y\) вугілля на складі (у тоннах) можна виразити формулою \(y = 500 + 30x\).
Таким чином, лінійна функція \(y = 30x + 500\) є математичною моделлю ситуації.
За \(x = 2\) маємо \(y = 560\);
за \(x = 4\) маємо \(y = 620\);
за \(x = 10\) маємо \(y = 800\)
Однак треба враховувати, що в цій ситуації . (натуральне число)
Якщо лінійну функцію \(y = kx + b\) треба розглядати не за всіх значень \(x\), а лише для значень \(x\) із деякої числової множини \(X\), то пишуть .
Приклад:
Побудувати графік лінійної функції:
a)
b)
\(x\) | \(-3\) | \(2\) |
\(y\) | \(7\) | \(-3\) |
Позначимо на координатній площині \(xOy\) точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) та проведемо через них пряму.
Далі виділимо відрізок, що з'єднує позначені точки. Цей відрізок і є графіком лінійної функції .
Точки \((-3;7)\) і \((2;-3)\) належать даному інтервалу (квадратні дужки) та на рисунку позначені темними кружечками.
![lineara2.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/c09ac787-3919-47b8-8afb-153bc0e8b70e/lineara2.png)
b) У другому випадку функція та сама, тільки значення \(x = -3\) і \(x = 2\) не розглядаються, оскільки вони не належать інтервалу \((-3; 2)\) (круглі дужки).
Тому точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) на рисунку позначені світлими кружечками.
Тому точки \((-3; 7)\) і \((2; -3)\) на рисунку позначені світлими кружечками.
![lineara3.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/0611abbd-252b-4750-9b97-b4a59420bc01/lineara3.png)
Розглядаючи графік лінійної функції на інтервалі, можна назвати найбільше і найменше значення лінійної функції.
У випадку
a) маємо, що \(= 7\) і \(= -3\),
b) маємо, що ні найбільшого, ні найменшого значень лінійної функції немає, оскільки обидва кінці відрізка, у яких саме й досягалися найбільше і найменше значення, виключені з розгляду.
Якщо \(k>0\), тоді лінійна функція \(y = kx + b\) зростає;
якщо \(k<0\), тоді лінійна функція \(y = kx + b\) спадає.