Сума і різниця кубів — урок. Алгебра, 7 клас НУШ.

Розрізняють повні та неповні квадрати залежно від того, чи можна тричлен записати як квадрат двочлена. Повний квадрат завжди можна подати у вигляді квадрата двочлена.

Якщо помножити \(a+b\) на

a^{2} - ab + b^{2}

, що називають неповним квадратом різниці виразів \(a\) і \(b\), то отримаємо тотожність:

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - \underline{a^{2} b} + \underline{\underline{a b^{2}}} + \underline{b a^{2}} - \underline{\underline{b^{2} a}} + b^{3} = a^{3} + b^{3}

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їхньої різниці:

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Приклад:

Записати

x^{3} + 2^{3}

у вигляді суми кубів двох виразів.

Розв'язання:

(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = x^{3} + 2^{3}

Якщо помножити \(a-b\) на

a^{2} + ab + b^{2}

, що називають неповним квадратом суми виразів \(a\) і \(b\), то отримаємо тотожність:

(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} + \underline{a^{2} b} + \underline{\underline{a b^{2}}} - \underline{b a^{2}} - \underline{\underline{b^{2} a}} + b^{3} = a^{3} - b^{3}

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Приклад:

Подамо вираз

8 a^{3} - b^{6}

у вигляді добутку.

Розв'язання:

8 a^{3} - b^{6} = {(2 a)}^{3} - {(b^{2})}^{3} = (2 a - b^{2}) ({(2 a)}^{2} + 2 a b^{2} + {(b^{2})}^{2}) = (2 a - b^{2}) (4 a^{2} + 2 a b^{2} + b^{4})

Зверни увагу!

Помінявши місцями ліві та праві частини формул суми і різниці кубів отримуємо тотожності, що є формулами скороченого множення:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) \end{array} & \begin{array}{l} (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3} \\ (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3} \end{array} \end{array}

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Сума і різниця кубів

Теорія: