Розкладання многочлена на множники за допомогою комбінацій різних прийомів

Розкласти многочлен на множники можна, застосовуючи послідовно декілька способів.

Зручно застосовувати такий порядок:
- якщо є спільний множник, то винести його за дужки;
- розкласти многочлен на множники за допомогою формул скороченого множення, якщо це можливо
(у многочлені два або три одночлени):

\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + {ab + b}^{2}) \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - {ab + b}^{2}) \\ a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2} \\ a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2} \end{array}

- спробувати розкласти на множники способом групування.

Завдання. Розкласти многочлен на множники.

Приклад:

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5}

Розв'язання:
Розглянемо коефіцієнти \(3\), \(24\) і \(48\).

Усі вони діляться на \(3\). Це найбільший спільний дільник, і його можна винести за дужки.

z^{5}, z^{3}

та \(z\) діляться на \(z\) , тому за дужки можна винести \(z\).

t^{3}, t^{4}

та

t^{5}

діляться на

t^{3}

, тому за дужки можна винести

t^{3}

Отже, за дужки можна винести

3 z t^{3}

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5} = 3 z t^{3} (z^{4} - 8 z^{2} t + 16 t^{2}) = 3 z t^{3} {(z^{2} - 4 t)}^{2} .

У дужках використали формулу скороченого множення (квадрат різниці).

Застосували два способи:
- винесення спільного множники за дужки;
- використання формули скороченого множення — квадрат різниці.

Завдання. Розкласти многочлен на множники:

Приклад:

c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2}

Розв'язання:

\begin{array}{l} c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2} = c^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = c^{2} - {(a + b)}^{2} = \\ = (c - (a + b)) (c + (a + b)) = (c - a - b) (c + a + b) \end{array}

Застосували два способи:
- спосіб групування;
- використання формул скороченого множення: квадрат суми та різниця квадратів.

Завдання. Розкласти многочлен на множники:

Приклад:

a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8

Розв'язання:

\begin{array}{l} a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8 = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = (a^{3} - 2^{2}) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = \underset{⏟}{(a - 2)} (a^{2} + 2 a + 4) - 5 a \underset{⏟}{(a - 2)} = \underset{⏟}{(a - 2)} ((a^{2} + 2 a + 4) - 5 a) = \\ = (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4 - 5 a) = (a - 2) (a^{2} - 3 a + 4) \end{array}

Застосували три способи:
- спосіб групування;
- винесення спільного множника за дужки;
- використання формули скороченого множення — різниця кубів.

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Розкладання многочлена на множники за допомогою комбінацій різних прийомів

Теорія: