Скорочення дробів — урок. Алгебра, 8 клас.

Алгебраїчним дробом називається відношення двох многочленів $Р$ і $Q$ тобто

\frac{P}{Q}

, де $Р$ — чисельник, а $Q$ — знаменник алгебраїчного дробу.

Наприклад:

\frac{7 z^{4}}{t}, \frac{a + b}{a - b}, \frac{18 a^{2} + 12ab - {2b}^{2}}{2 a^{2}}

Скоротити дріб — означає поділити одночасно чисельник і знаменник дробу на їхній спільний множник (те саме, відмінне від нуля число).

Зверни увагу!

Спочатку треба розкласти на множники чисельник і знаменник дробу.

Приклад:

Завдання 1. Розділити одночлен

49 c^{3} d^{5}

на одночлен

7c d^{2}

Розв’язання:

Замість запису

49 c^{3} d^{5}

$:$

7c d^{2}

використовуємо риску дробу:

49 c^{3} d^{5} : 7c d^{2} = \frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}}

, бо $c:d$ і

\frac{c}{d}

— одне й те саме.

\frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}} = \frac{49}{7} \cdot \frac{c^{3}}{c} \cdot \frac{d^{5}}{d^{2}} = 7 c^{2} d^{3}

Завдання 2. Скоротити алгебраїчний дріб

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x}

Розв’язання:

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{3x (x + 5)} = \frac{(x + 5) \cdot (x + 5)}{3x \cdot (x + 5)} = \frac{x + 5}{3x}

у знаменнику винесли загальний множник $3x$ за дужки;
квадрат двочлена зобразили у вигляді добутку двох рівних двочленів $x +5$;
скоротили дріб на вираз $x +5$.

Завдання 3. Скоротити алгебраїчний дріб

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}}

Розв’язання:

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}} = \frac{(1 - z) \cdot (1 + z)}{(1 - z) \cdot (1 + z + z^{2})} = \frac{1 + z}{1 + z + z^{2}}

у чисельнику застосували формулу «різниця квадратів», аби зобразити двочлен у вигляді добутку;
у знаменнику застосували формулу «різниця кубів»;
скоротили дріб на вираз $1-z$.

Завдання 4. Скоротити алгебраїчний дріб

\frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b}

Розв’язання:

$\frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b} = \frac{abc (a^{2} c^{2} - 2abc + b^{2})}{4 a^{2} (ac - b)} = \frac{bc {(ac - b)}^{2}}{4a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b) (ac - b)}{4a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b)}{4a}$

у чисельнику винесли спільний множник $abc$ за дужки. У дужках застосували формулу скороченого множення (квадрат різниці);
у знаменнику винесли спільний множник за дужки;

скоротили (розділили і чисельник, і знаменник) на $ac-b$.

Завдання 5. Обчислити

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}}

Розв’язання:

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}} = \frac{{(36 - 16)}^{2}}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{(36 - 16) (36 - 16)}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}

у чисельнику застосували формулу «квадрат різниці»;
у знаменнику застосували формулу «різниця квадратів»;
скоротили на числовий вираз $36-16$ і на $4$ послідовно.

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

2. Скорочення дробів

Теорія: