Метод введення нових змінних — урок. Алгебра, 9 клас.

При розв'язанні систем двох рівнянь з двома змінними метод введення нових змінних можна застосовувати двома способами:

1. вводиться одна нова змінна і використовується тільки в одному рівнянні системи;

2. вводяться дві нові змінні і використовуються одночасно в обох рівняннях системи.

Розглянемо другий спосіб на прикладі.

Приклад:

Розв'язати систему рівнянь

\{\begin{cases} xy (x + y) = 6 \\ xy + (x + y) = 5 \end{cases}

Розв'язання.

Введемо нові змінні

xy = u, x + y = v

Тоді систему можна переписати в більш простому вигляді:

\{\begin{cases} uv = 6 \\ u + v = 5 \end{cases}

Розв'язком системи є дві пари чисел:

\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ v_{1} = 3 \end{cases}

\{\begin{cases} u_{2} = 3 \\ v_{2} = 2 \end{cases}

Повернемося до змінних \(x\) і \(y\) і розв'яжемо системи методом підстановки, тоді:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} xy = 2 \\ x = 3 - y \end{cases} \\ 1 . (3 - y) y = 2 \\ - y^{2} + 3 y - 2 = 0 |\cdot (- 1) \\ y^{2} - 3 y + 2 = 0 \\ y_{1} = 2, y_{2} = 1 \\ 2 . x = 3 - y \\ x_{1} = 3 - 2 = 1 \\ x_{2} = 3 - 1 = 2 \end{array}

\begin{array}{l} \{\begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} xy = 3 \\ x = 2 - y \end{cases} \\ (2 - y) y = 3 \\ - y^{2} + 2 y - 3 = 0 \\ D < 0 \\ \emptyset \end{array}

Відповідь: \((1;2)\) і \((2;1)\)

Знайшли помилку?

3. Метод введення нових змінних