Теорія:

Пишемо И
  • після д, т, з, с, ц, ч, ш, ж, дж, р (Де ти з’їси цю чашу жиру, Джо? — правило «десятки») у загальних назвах перед приголосним, крім й: грильяж, диктор, система, чипси, джинси, шимпанзе, жираф;
     
  • у власних назвах після приголосних дж, ж, ч, ш, щ, ц, с, з, д, т, р перед приголосним, крім й: Вашингтон, Жизель, Зигмунд,  Рига, Крит, Сиракузи, Цицерон, Ватикан, Единбург, Цюрих, Алжир, Вірджинія, Гемпшир,  Лейпциг, Чикаго, Чилі, Шиллер та в похідних від них: алжирець, гемпширський;
     
  • у географічних назвах із кінцевими  -ида, -ика: Антарктида, Атлантида, Флорида; Адріатика, Америка, Африка, Балтика, Корсика, Мексика тощо;
     
  • у давно запозичених словах після б, п, в, м, ф, г, к, х, л, н: бурмистер, вимпел, химера,  імбир, кипарис, лиман, лимон, миля, мирт, нирка, спирт,  книжка,  АЛЕ бургомістр;
     
  • у запозиченнях із східних мов: киргиз, гиря, калмик, кинджал, диван, кишмиш,  кисет, кишлак тощо;
     
  • у церковних словах: єпископ, єпитимія, єпитрахиль, мирта, митрополит, диякон, миро тощо.
Пишемо І
  • після б, п, в, м, ф, г, к, х, л, н перед наступним приголосним: бізнес, пілот, академік, фінанси, гіпопотам, гімн,  кілограм, кіно, архів, хімія,  література, республіка, ніша;
     
  • після приголосних у кінці невідмінюваних слів (після будь-якого  приголосного): броколі, кольрабі, суші, Вінні, Генрі, денді, мюслі, таксі, хіпі, хобі, попурі, спагеті;
     
  • у загальних і власних назвах перед голосними, й, я, ю, є, ї: ажіотаж, артеріальний, геніальний,  індустріалізація, матеріал, діагноз, чіабата,  фіалка; аудієнція, гієна, рієлтор, клієнт; аксіома, раціон, революціонер, соціологія,  тріумф; Біарриц, Арістотель, Іглесіас, Зімбабве, Лієпа, Річард, Дідро, Дізель, Грімм, Медічі, Россіні.
Зверни увагу!
Власні назви, що перейшли в категорію загальних назв, пишемо за правилами правопису загальних назв іншомовного походження:  дизель (від прізвища Рудольфа Дізеля), силует (від прізвища Етьєна де Сілуетта).
Пишемо Ї
  • після голосного: альтруїст, егоїст, маїс, мозаїка, наївний, руїна, стоїк,  Аїда, Каїр, Саїд, Таїр, Хаїм, Хусаїнов, Мафусаїл.
Джерела:
УКРАЇНСЬКИЙ ПРАВОПИС: СХВАЛЕНО Кабінетом Міністрів України (Постанова № 437 від 22 травня 2019 р.) спільним рішенням Президії Національної академії наук України (протокол № 22/10 від 24 жовтня 2018 р.) і Колегії Міністерства освіти і науки України(протокол № 10/4-13 від 24 жовтня 2018 р.)  ЗАТВЕРДЖЕНО Українською національною комісією з питань правопису (протокол № 5 від 22 жовтня 2018 р.) 2019 р.